Furijeove transformacije

Teško je zamisliti modernu astrofiziku bez primene Furijeovih transformacija, pogotovo ako je rec o spektralnoj analizi.

Furijeova transformacija je važna matematicka operacija kojom se periodicna funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente” radi jednostavnije analize. Odgovarajuca transformacija neke neprekidne funkcije x(t) data je sledecim izrazom:

gde su promenljive t i f vreme i frekvencija ,respektivno,što razume se nije obavezno; oznaka i predstavlja imaginarnu jedinicu.

Iz osobine reverzibilnosti sledi:

Ako se frekvencija f zameni ugaonom brzinom:

Na osnovu Ojlerove formule:

odgovarajuca jednacina se može predstaviti u obliku:

U se naziva kosinus-transformacija,a V sinus-transformacija.

Logicno pitanje koje nam se ovde namece jeste:

U cemu je prakticni interes transformacije x(t) u X(f)?

Pretpostavimo da se u x(t) nalazi nekoliko slabih oscilatornih signala, potopljenih u intenzivniji šum koji predstavljamo nekom nepoznatom funkcijom s(t), tada je:

Ako izvršimo smenu:

Furijeova transformacija x(t) je onda jednaka:

Zbir integrala sa desne strane predstavlja zbir Dirakovih funkcija:

Ukoliko je s(t) beli šum njegova transformacijom se dobija konstanta:

Furijeovom transformacijom funkcije x(t) dobija se diskretna funkcija frekvencije X(f) koja se sastoji od zbira Dirakovih funkcija.Ako se ogranicimo na pozitivne frekvencije (što ima fizicki smisao) δ(fj+f)=0, tada transformacija dobija konacan oblik:

Ako bismo predstavili X(f) u Dekartovom koordinatnom sistemu,svakoj ko(sinusnoj) komponenti x(t) odgovara jedna linija na f=fj koja pocinje sa konstantnog nivoa I2.Tako se umesto slike neprekidne funkcije dobija nešto nalik na linijski spektar koji se naziva periodogram.

Radi izvodjenja jednostavnijih formula uzecemo da je x(t) zadano na intervalu t=[-T,T] i da predstavlja zbir sinusnih signala bez šuma:

Furijeova transformacija x(t) tada je predstavljena izrazom:

Ako izvršimo transformaciju proizvoda trigonometrijskih velicina u zbir ili razliku, i uzmemo u obzir da je integral sinusa na intervalu [-T,T] jednak nuli, dobijamo da je:

Primenom trigonometrijskih formula za zbir i razliku kosinusa dva ugla, poslednja jednacina postaje:

Ako je T mnnogo vece od perioda P i Pj, koji odgovaraju frekvencijama f i fj, imenilac prvih sabiraka je veliki, pa se oni mogu zanemariti tako da izraz I postaje:

gde je:

Kad-god frekvencija f, kao nezavisno promenljiva, teži frekvenciji nekoj od oscilacija sadržanih u x(t) realni deo izraza I teži aj, a imaginarni deo ka bj, jer funkcija R(λ ) teži jedinici. Iz prethodnog izlaganja možemo da zakljucimo da što je T vece u odnosu na periode P i Pj, ekstremum funkcije R(λ) je uži, a samim tim se poboljšava i selektivnost Furijeovih transformacija. Zato se u prakticnoj primeni nastoji da T bude bar desetak puta vece od najvece predpostavljene periode P, tako da se dobijaju periodogrami sa vrlo uskim (šiljatim) ekstremumima R(λ) koji se zovu pikovi.

Kada se izracunaju sinus i kosinus-transformacija, odrede amplitude pikova (aj,bj), amplitude i faze pojedinih oscilacija se racunaju pomocu formula:

Pocetna strana